Soal dan Pembahasan Trigonometri

3.7  Menyelesaikan cara mengubah satuan pengukuran sudut trigonometri derajat ke radian :

Contoh Soal 1
Soal : Berapa derajatkah sudut 3,5 radian?
Jawab:
3,5 radian = 3,5 x(180o/π) = 200,535o

Contoh Soal 2
Soal: Hitunglah sudut 2,2 radian dalam derajat!
Jawab:
2,2 radian = 2,2 x (180o/π) = 126o

Contoh Soal 3
Soal: 15o berapa radian?
Jawab:
15o = 15 x (π/180) = 0,265 radian

Contoh Soal 4
Soal: Nyatakan sudut 60o dalam π radian!
Jawab:
60o = 60 x (π/180) = π/3 radian

3.7  Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku dan dudut istimewa (600 , 300 , 450 )

Contoh Soal 1

Besar sudut yang sesuai dengan gambar di bawah adalah ...

 

A. ${30}^{\circ }$                 C. ${300}^{\circ }$                     E. ${390}^{\circ }$            
B. ${60}^{\circ }$                 D. ${330}^{\circ }$  

Pembahasan :

Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam, sehingga tandanya negatif, yakni $-{30}^{\circ }$.
Karena satu putaran sama dengan ${360}^{\circ }$, maka $-{30}^{\circ }$ sama dengan $(360-30{)}^{\circ }={330}^{\circ }$
Jadi, besar sudutnya adalah ${330}^{\circ }$
(Jawaban D)

Contoh Soal 2

Besar sudut $\frac{3}{4}\pi \text{rad}$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. ${75}^{\circ }$                   C. ${135}^{\circ }$               E. ${270}^{\circ }$             
B. ${105}^{\circ }$                 D. ${210}^{\circ }$

Pembahasan :

Ingat bahwa $\pi \text{rad}={180}^{\circ }$
Dengan demikian,
$\begin{array}{cc}\frac{3}{4}\pi \text{rad}& =\frac{3}{4}\times {{180}^{45}}^{\circ }\\ & =3\times {45}^{\circ }={135}^{\circ }\end{array}$
Jadi, besar sudut $\frac{3}{4}\pi \text{rad}$ sama dengan ${135}^{\circ }$
(Jawaban C)

Contoh Soal 3

Besar sudut ${72}^{\circ }$ sama dengan $\cdots \text{rad}$
A. $\frac{1}{5}\pi$                   C. $\frac{2}{3}\pi$                  E. $\frac{5}{6}\pi$               
B. $\frac{2}{5}\pi$                   D. $\frac{3}{4}\pi$       

Pembahasan :

Ingat bahwa $1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{rad}$
Dengan demikian,
$\begin{array}{cc}{72}^{\circ }& ={72}^2\times \frac{\pi }{{180}^5}\text{rad}\\ & =\frac{2}{5}\pi \text{rad}\end{array}$
Jadi, besar sudut ${72}^{\circ }$ sama dengan $\frac{2}{5}\pi \text{rad}$
(Jawaban B)

Contoh Soal 4

Perhatikan gambar di bawah.

Segitiga $ABC$ siku-siku di $C$. Pernyataan berikut ini benar, kecuali $\cdots \cdot$

A. $\sin \alpha =\frac{BC}{AB}$                D. $\cos \beta =\frac{BC}{AC}$
B. $\sin \beta =\frac{AC}{AB}$                 E. $\tan \alpha =\frac{BC}{AC}$
C. $\cos \alpha =\frac{AC}{AB}$

Pembahasan :

Berdasarkan gambar di atas, perbandingantrigonometri untuk sinus, cosinus, dan tangendari sudut $\alpha$ dan $\beta$ adalah sebagai berikut.

$\begin{array}{cc}\sin \alpha & =\frac{\text{de}}{\text{mi}}=\frac{BC}{AB}\\ \cos \alpha & =\frac{\text{sa}}{\text{mi}}=\frac{AC}{AB}\\ \tan \alpha & =\frac{\text{de}}{\text{sa}}=\frac{BC}{AC}\\ \sin \beta & =\frac{\text{de}}{\text{mi}}=\frac{AC}{AB}\\ \cos \beta & =\frac{\text{sa}}{\text{mi}}=\frac{BC}{AB}\\ \tan \beta & =\frac{\text{de}}{\text{sa}}=\frac{AC}{BC}\end{array}$
Jadi, dari kelima pernyataan (pilihan) yang diberikan, pernyataan yang salah ada padapilihan jawaban D.

3.7 Menyelesaikan rasio  trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku di dalam koordinat kartesius 

Contoh Soal 1

Diketahui koordinat titik A(−2√2,−2√2).Koordinat kutub dari titik A adalah ⋯⋅
A. (4,210∘)                 D. (5,240∘) 
B. (2,240∘)                 E. (4,225∘)
C. (2,225∘)

Pembahasan :

Diketahui: x=y=−2√2
Koordinat kutubnya berbentuk (r,θ), dengan
r=√x2+y2=√(−2√2)2+(−2√2)2=√8+8=4
dan
tanθ=yx=−2√2−2√2=1⇒θ=45∘∨225∘
Karena titik A berada di kuadran III (nilai x dan ynegatif), maka θ=225∘. 
Jadi, koordinat kutub dari A(−2√2,−2√2)adalah (4,225∘)
(Jawaban E)

Contoh Soal 2

Diketahui $△ABC$ siku-siku di $B$. Jika $\cos A=\frac{3}{4}$, nilai $\cot A=\cdots \cdot$

A. $\sqrt{7}$                                 D. $\frac{3}{4}\sqrt{7}$
B. $\frac{3}{7}\sqrt{7}$                             E. $\frac{4}{3}\sqrt{7}$
C. $\frac{4}{7}\sqrt{7}$

Pembahasan :

Cosinus sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.

Untuk itu,
$\cos A=\frac{3}{4}=\frac{AB}{AC}$
Misalkan $AB=3$ dan $AC=4$, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{array}{cc}BC& =\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}\\ & =\sqrt{(4{)}^2-(3{)}^2}=\sqrt{7}\end{array}$
Cotangen sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi depan sudutpada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\cot A=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3}{7}\sqrt{7}$
Jadi, nilai $\cot A=\frac{3}{7}\sqrt{7}$
(Jawaban B)

3.7 Menyelesaikan nilai trigonometri pada suatu sudut segitiga siku-siku pada koordinat cartesius

Contoh soal 1

Perhatikan segitiga ABC dibawah! Segitiga ABC siku-siku di B.

Maka sinθ= . . . .

  A. ab
  B. ac
  C. ca
  D. cb
  E. ba

Pembahasan :

sin 0 = c/b

sin = depan/miring = D

3.7 Menyelesaikan komposisi operasi (+, -, :, dan •) nilai trigonometri

Contoh Soal 1

Diketahui f ( x ) = 2 − x dan g ( x ) = 2 x + a + 1 .

Jika ( f ∘ g ) ( x ) = ( g ∘ f ) ( x ) , berapa nilai a ?

A. − 4

B. − 2

C. 0

D. 2

E. 4

Pembahasan :

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran

Jika sin a = 1/2 , a di kuadran II , maka nilai dari tan a

Jawab :

\sin A=\frac{1}{2}\\\frac{a}{c}=\frac{1}{2}\\\\a=1\\c=2\\b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\\\\\tan A=-\frac{a}{b}\\\tan A=-\frac{1}{\sqrt3}\\\tan A=-\frac{1}{3}\sqrt3(\text{Negatif karena berada di kuadran II})

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut berelasi (kuadrat: I, II, III, IV), sudut negatif, dan sudut > 3600

Jika sin 30° =½ maka cos 300°=

Jawab : 

cos 300°

= cos (360° - 60°)

= cos 60°

= cos (90° - 30°)

= sin 30°

= 1/2

3.8 Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana atau persamaan indentitas trigonometri = rumus identitas trigonometri

Buktikan bahwa persamaan identitas trigonometri di bawah adalah benar!

  \[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = sin \alpha \]

Bukti:

  \[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - \frac{1 - sin^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} \]

  \[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - \frac{\left( 1 - sin \alpha \right) \left( 1 + sin \alpha) \right)}{1 + sin \alpha} \]

  \[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - \left( 1 - sin \alpha \right)  \]

  \[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - 1 + sin \alpha  \]

  \[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = sin \alpha  \]

3.8 Menyelesaikan koordinat kutub ke koordinat kartesius, koordinat kartesius ke koordinata kutub

Jika titik P(4,45°) dinyatakan dengan sistem koordinat Cartesius, maka hasilnya adalah

Jawab:

x = r . cos a

x = 4 . cos 45°

x = 4 . 1/2 √2

x = 2 √2

y = r . sin a

y = 4 . sin 45°

y = 4 . 1/2 √2

y = 2 √2

(2√2, 2√2)

3.8 Menyelesaikan soal cerita perbandingan trigonometri

Seekor kelinci yang berada di lubang tanah tempat persembunyiannya melihat seekor elang yang sedang terbang dengan sudut 

60

∘

60∘ (lihat gambar). Jika jarak antara kelinci dan elang adalah 

18

18 meter, maka tinggi elang dari atas tanah adalah 

⋯

⋅

⋯⋅ meter.

Jika dilihat dari gambar, sisi depan sudut 

60

∘

60∘ ditanyakan panjangnya dan sisi miring segitiga (hipotenusa) diketahui panjangnya. Dengan demikian, perbandingan trigonometri yang dapat digunakan adalah sinus, yakni

sin

60

∘

=

x

18

1

2

√

3

=

x

18

x

=

18

×

1

2

√

3

=

9

√

3

sin⁡60∘=x18123=x18x=18×123=93

Jadi, tinggi elang dari atas tanah adalah 

9

√

3

93 meter.

(Jawaban D)

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 2 sudut dan 1 sisi

Pada segitiga ABC diketahui AC=10 cm, besar sudut B=45 derajat, dan besar sudut A=30 derajat. tentukan panjang BC.

Jawab : 

Diketahui :

Panjang AC = b = 10 cm

Sudut B = 45°

Sudut A = 30°

Ditanyakan :

Panjang BC = a = ...... 

Jawab :

Dengan aturan sinus

a/(sin A) = b/(sin B)

a/(sin 30°) = 10/(sin 45°)

a/(1/2) = 10/(1/2 √2)

a/1 = 10/(√2)

a = 10/(√2) . (√2)/(√2)

a = (10 √2)/2

a = 5 √2

Jadi panjang BC = 5 √2 cm

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 1 sudut dan 2 sisi

pada segitiga ABC diketahui AB=4cm, AC=4√2, dan sudut C=30° dengan demikian sudut A sama dengan

Jawab : 

 \frac{AB}{sin C}  =  \frac{AC}{sin B} 

4 sin B= 4  \sqrt{2}  sin30

4 sin B = 4  \sqrt{2}  x  \frac{1}{2} 

sin B =  \frac{2 \sqrt{2}}{4} 

sin B =  \frac{1}{2}   \sqrt{2} 

arc sin B = 120

A+B+C=180

A+120+30=180

A+150=180

A=180-150

A=30

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sisi

pada segitiga PQR,sudut QPR=120°,PQ=12 dan PR=10. Dengan demikian panjang QR sama dengan

Jawab : 

Aturan Cosinus

QR² = PQ² + PR² - 2.PQ.PR.cos∠QPR

QR² = 12² + 10² - 2.12.10.cos 120°

QR² = 12² + 10² - 2.12.10.(-0,5)

QR² = 144 + 100 - (-120)

QR² = 144 + 100 + 120

QR² = 364

QR = √364

QR = 2√91

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sudut

Diketahui perbandingan sisi-sisi segitiga ABC adalah 2:3:4. Nilai kosinus sudut terbesar adalah

Jawab : 

Sisi ABC , AB = 2x , BC = 3x , AC = 4x

Sudut terbesar didepan sisi terpanjang ,

sisi terpanjang  = AC

sudut terbesar = < B

cos B = (AB² + BC² - AC²) / (2)(AB)(BC)

cos B = (2x)²+(3x)² -(4x)² /  2(2x)(3x)

cos B = (4+9 -16) x²/ (12) x²

cos B = (-3)/(12)

cos B = - 1/4

3.9 Menyelesaikan Luas segitiga jika diketahui: 1 sudut 2 sisi, 3 sisi, 2 sudut 1 sisi

1. Diketahui segitiga abc dengan ab= 6 cm,ac= 8 cm sudut a= 150 derajat. Luas segitiga abc

jawab : 

L = ½.ab.ac.Sin a

L = ½.6.8.Sin 150°

L = 12 cm²

2. Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut B dan C berturut-turut yaitu 30o dan 37o. Jika panjang sisi di antara dua sudut tersebut yaitu 8 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.

Pembahasan :

Dik : B = 30o, C = 37o, a = 8 cm

Dit : L = .... ?

Langkah pertama kita tentukan besar sudut A :

⇒ A + B + C = 180o

⇒ A = 180o - (B + C)

⇒ A = 180o - (30o + 37o)

⇒ A = 180o - 67o

⇒ A = 113o

Berdasarkan rumus di atas :

⇒ L = a2 sin B sin C

2 sin A

⇒ L = 82 sin 30o sin 37o

2 sin 113o

⇒ L = 64 (0,5) (0,6)

2 (0,92)

⇒ L = 19,2

1,84

⇒ L = 10,42 cm

Jadi, luas segitiga tersebut yaitu 10,42 cm.

3. Pada segitiga ABC diketahui AB = 4 cm, AC = 6 cm dan BC = 8 cm. maka luas segitiga ABC adalah

Jawab: 

K = 4+6+8 = 18 cm

s = K/2 = 18/2 = 9 cm

Luas segitiga

= √(s(s-AB)(s-AC)(s-BC))

= √(9(9-4)(9-6)(9-8))

= √(9.5.3.1)

= √135 = 3√15 cm²

3.10 Menyelesaikan gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

Contoh Soal 1

Turunan dari y=3sinx−cosx adalah ⋯⋅

A. 3cosx−sinx
B. 3cosx+sinx
C. cosx−sinx
D. cosx+sinx
E. 5cosx−sinx

Pembahasan :

Ingat kembali bahwa:

f(x)=sinx⟹f′(x)=cosxf(x)=cosx⟹f′(x)=−sinx
Dengan menggunakan fakta di atas, kita peroleh
y=3sinx−cosx⟹y′=3cosx−(−sinx)=3cosx+sinx
Jadi, turunan dari y=3sinx−cosx adalah 3cosx+sinx
(Jawaban B)

Contoh Soal 2

Jika g(x)=3x2−12x2+2cosx, maka g′(x) sama dengan ⋯⋅

A. 6x+1x3−2sinx
B. 6x−1x3−2sinx
C. 6x−14x−2sinx
D. 6x+4x3+2sinx
E. 6x+1x3+2sinx

Pembahasan :

Ingat kembali bahwa:

f(x)=cosx⟹f′(x)=−sinx
Dengan menggunakan fakta di atas dan aturan turunan fungsi aljabar, kita peroleh
g(x)=3x2−12x2+2cosx=3x2−12x−2+2cosxg′(x)=3(2)x−12(−2)x−3+2(−sinx)=6x+1x3−2sinx
Jadi, hasil dari g′(x)=6x+1x3−2sinx
(Jawaban A)

Contoh Soal 3

Grafik di atas merupakan modifikasi grafik cosinus (karena tidak dimulai dari garis normal di sumbu-

X

) dengan bentuk umum 

f

(

x

)

=

a

cos

k

x

.

Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum fungsinya 

1

2

, sedangkan nilai minimumnya 

−

1

2

, sehingga

a

=

N. Maksimum

−

N. Minimum

2

=

1

2

−

(

−

1

2

)

2

=

1

2

Saat 

x

=

0

∘

, nilai fungsinya 

1

2

, lalu berulang kembali di 

x

=

π

, sehingga periodenya 

π

. Dengan demikian, 

k

=

2

π

Periode

=

2

π

π

=

2

.

Jadi, grafik fungsi di atas adalah grafik fungsi 

f

(

x

)

=

1

2

cos

2

x

3.10 Menyelesaikan membaca gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

$$

Diketahui:

y = 3 cos 2x

Ditanya: grafik y = 3 cos 2x pada interval 45° ≤ x ≤ 90°

Jawab:

Untuk menggambar grafik, diperlukan titik-titik yang melalui koordinat (x, y). Titik-titik tersebut diperoleh dengan cara mendaftar anggota pada grafik y = 3 cos 2x .

Karena hanya diperlukan pada interval 45° ≤ x ≤ 90° , maka kita hanya akan mendaftar sudut-sudut istimewa pada interval tersebut. Sudut istimewa diantara 45° - 90° adalah: 45°, 60°, dan 90°. Maka diperoleh:

x = 45°, 60°, dan 90°

subtitusikan nilai x satu persatu kedalam persamaan y

untuk x = 45°

y = 3 cos 2x

y = 3 cos 2(45°)

y = 3 cos 90°

y = 3(0)

y = 0

Maka diperoleh titik (45°, 0)

untuk x = 60°

y = 3 cos 2x

y = 3 cos 2(60°)

y = 3 cos 120°

Ingat! cos 120° terletak di kuadran II

y = 3 (-cos (180° - 60°))

y = 3

y = 

Maka diperoleh titik (60°, )

untuk x = 90°

y = 3 cos 2x

y = 3 cos 2(90°)

y = 3 cos 180°

y = 3(-1)

y = -3

Maka diperoleh titik (90°, -3)

Dari titiik-titik tersebut kemudian digambar pada bidang kartesisus. Gambar grafik dapat dilihat pada lampiran. Dari grafik tersebut terlihat bahwa grafik y = 3 cos 2x terletak di bawah sumbu- x, atau pada sumbu- y negatif, dan graik tersebut juga terbuka ke atas.

∴ Jadi graik y = 3 cos 2x pada interval 45° ≤ x ≤ 90° akan terbuka keatas dan di bawah sumbu-x atau pada sumby-y negatif.

3.10 MenyelesaikanRange nilai fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

Pada interval 0° < x < 90° grafik fungsi seluruhnya berada di atas sumbu x. fungsi tersebut adalah

Jawab:

y = sin 2* 0 = sin  0 = 0

y = sin 2 * 45 = sin 90 = 1

y = sin 2 * 90 = sin 180 = 0

jadi  fungsi y = sin 2x

3.7 Menyelesaikan sudut elevasi, sudut depresi

1. Budi melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak antara Budi dan menara yang dilihatnya adalah 150 m dan tinggi Budi adalah 120 cm maka tinggi menara tersebut adalah …

Jawab

tan 30⁰ = \frac{x}{150}

\frac{1}{3} \sqrt{3} = \frac{x}{150}

x = \frac{1}{3} \sqrt{3}  . 150  

x = 50√3  

Jadi tinggi menara adalah

= x + tinggi Budi

= 50√3 m + 120 cm

= 50√3 m + 1,2 m

= (50√3 + 1,2) m

2. Seorang anak dengan tinggi 160 cm berdiri pada jarak 12 m dari kaki tiang bendera. Jika sudut depresi dari puncak tiang terhadap anak adalah 45° maka tinggi tiang bendera itu adalah …

Jawab

tan 45⁰ = \frac{x}{12}

1 = \frac{x}{12}

x = 12  

Jadi tinggi tiang bendera adalah

= x + tinggi anak

= 12 m + 160 cm

= 12 m + 1,6 m

= 13,6 m 

3.10 Menyelesaikan fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan untuk menentukan periode maksimum dan minimum

1. Nilai maksimum dari fungsi y = 4 sin x cos x adalah...

Jawab :

Nilai maksimum dari fungsi y = 4 sin x cos x adalah 2. Nilai dari sin ax dan cos ax adalah –1 ≤ sin ax ≤ 1 dan –1 ≤ cos ax ≤ 1, sehingga:

Nilai maksimum dari sin ax dan cos ax adalah 1

Nilai minimum dari sin ax dan cos ax adalah –1  

dengan a adalah bilangan real

Rumus sudut rangkap pada trigonometri

sin 2A = 2 sin A cos A

cos 2A = cos² A – sin² A

cos 2A = 2 cos² A – 1

cos 2A = 1 – 2 sin² A

tan 2A = 

y = 4 sin x cos x

y = 2 . 2 sin x cos x

y = 2 . sin 2x

y = 2 sin 2x

karena nilai dari sin 2x adalah –1 ≤ sin 2x ≤ 1, maka y = 2 sin 2x akan bernilai maksimum jika sin 2x = 1

sehingga nilai maksimum dari y = 4 sin x cos x adalah

y = 2 sin 2x

y = 2 (1)

y = 2

2. Nilai minimum dari fungsi y = √3 cos x - sin x adalah...

Jawab : 

Nilai Maksimum minimum fungsi trigonometri

y = √3 cos x - sin x  ubah  bentu ke y = k  cos ( x -  a)

a= √3

b = - 1

k = √(a²+b²)

k = √(3 +1)= +_2

Nilai minimum nya = -2

•