SOAL KESAMAAN MATRIKS

 DETERMINAN MATRIKS BERORDO 3×3

Contoh soal : Tentukan determinan matriks berikut ini menggunakan aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor!

Pembahasan:

• Aturan Sarrus

Agar lebih mudah, kita tulis kembali elemen-elemen pada kolom ke-1 dan ke-2 di sebelah kanan matriks A sebagai berikut:

Kemudian, kita tarik garis putus-putus seperti gambar di atas. Kalikan elemen-elemen yang terkena garis putus-putus tersebut. Hasil kali elemen yang terkena garis putus-putus berwarna biru diberi tanda positif (+), sedangkan hasil kali elemen yang terkena garis putus-putus berwarna oranye diberi tanda negatif (-). Ingat urutan penulisannya juga, ya!

Sepintas terlihat cukup rumit ya. Tapi, kalau kamu sering berlatih soal, pasti akan hafal dengan sendirinya. Jadi, jangan malas untuk berlatih soal, ya! Sekarang, kita coba kerjakan menggunakan metode yang satunya lagi kuy!

• Metode Minor-Kofaktor

Berdasarkan rumus minor-kofaktor di atas, determinan matriks A dapat dicari dengan menghitung jumlah seluruh hasil kali antara kofaktor matriks bagian dari matriks A dengan elemen-elemen pada salah satu baris atau kolom matriks A. Jadi, pertama, kita pilih salah satu baris atau kolom matriks A untuk mendapatkan nilai determinannya. Misalnya, kita pilih baris ke-1. Elemen-elemen matriks baris ke-1, yaitu a11, a12, dan a13.

Selanjutnya, karena kita pilih elemen-elemen pada baris ke-1, rumus determinan matriks yang kita gunakan adalah sebagai berikut:

Langkah kedua, kita cari kofaktor matriks bagian dari matriks A (Cij). Cij = (-1)i+j Mij dan Mij = det Aij dengan Aij merupakan matriks bagian dari matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Maksudnya bagaimana? Oke, coba kamu perhatikan baik-baik ya.

Sebelumnya, kita telah memilih elemen-elemen pada baris ke-1, yaitu a11, a12, dan a13. Oleh karena itu, matriks bagian dari matriks A nya adalah A11, A12, dan A13.

• A11 diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-1.

• A12 diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-2.

• A13 diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-3.

Sehingga,

DETERMINAN MATRIKS BERORDO 2×2

Contoh soal : Tentukanlah determinan matriks berikut!

Pembahasan:

KOFAKTOR MATRIKS BERORDO 3×3

Contoh soal :  hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor!

Penyelesaian:

Ekspansi Baris Pertama

Rumus manapun (ekspansi baris ke-1, ke-2, atau ke-3) yang digunakan akan menghasilkan nilai determinan yang sama yaitu 17. Coba anda hitung sendiri jika hasilnya berbeda kemungkinan salah perhitungan.

Lalu untuk apa ada tiga rumus jika salah satunya saja sudah bisa menghitung determinan?

Jawabannya adalah “elemen nol”.

Maksudnya jika suatu matriks memiliki satu atau beberapa elemen nol, maka perhitungan determinannya bisa lebih cepat.

Kemudian karena posisi elemen nol bisa berada di baris pertama, kedua atau ketiga. Maka, disinilah fungsi dari ketiga rumus ekspansi baris dalam menghitung determinan.

Satu Elemen Nol

Jika hanya ada satu elemen nol, perhitungan determinan bisa menggunakan rumus ekspansi baris atau kolom.  Dengan syarat gunakanlah baris atau kolom yang berisi elemen nol.

KOFAKTOR MATRIKS BERORDO 2×2

Contoh soal : Tentukan semua kofaktor dari matriks A=[−143−5]$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ 4& -5\end{array}\right]$!

Pembahasan : 

Karena minornya telah dicari sebelumnya yaitu
M11$M_{11}$ = -5
M12$M_{12}$ = 4
M21$M_{21}$ = 3
M22$M_{22}$ = -1
Jadi, kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah
Cij = (-1)i+j${}^{i+j}$ Mij
C11=(−1)1+1(−5)=−5$C_{11}=(-1{)}^{1+1}(-5)=-5$
C12=(−1)1+2(4)=−4$C_{12}=(-1{)}^{1+2}(4)=-4$
C21=(−1)2+1(3)=−3$C_{21}=(-1{)}^{2+1}(3)=-3$
C22=(−1)2+2(−1)=−1

INVERS MATRIKS BERORDO 3×3

• Invers matriks ordo 3x3 dengan adjoin

Contoh soal : Tentukanlah invers dari matriks berikut.

Pembahasan:

Catatan: elemen-elemen yang berada di lingkar biru merupakan diagonal utama matriks A yang ditukar posisinya, sedangkan elemen-elemen yang berada di lingkar oranye merupakan diagonal kedua matriks A yang dikalikan dengan minus satu (-1).

INVERS MATRIKS BERORDO 2×2

Contoh soal : Tentukan invers matriks berikut dengan menggunakan adjoin!

Penyelesaian:

Oke, berdasarkan rumus di atas, kita membutuhkan determinan dan adjoin matriks A. Pertama, kita cari terlebih dahulu determinan matriks A menggunakan metode yang sudah dijelaskan sebelumnya. Bisa dengan cara aturan Sarrus ataupun metode minor-kofaktor. Misalnya, kita akan menggunakan metode Sarrus, sehingga:

Kemudian, kita tentukan adjoin matriks dengan mencari kofaktor matriks A tersebut.

Oleh karena itu,

Jadi,

• Invers matriks ordo 3x3 dengan transformasi baris elementer

Contoh soal : Tentukan invers matriks A dengan transformasi baris elementer.

Pembahasan:

Pertama-tama, kita bentuk matriks A menjadi matriks (A3|I3).

Lalu, kita transformasikan matriks (A3|I3) ke bentuk (I3|A3). Kita bisa menggunakan beberapa cara seperti yang dijelaskan poin a-d pada langkah ke-2 rumus di atas.

Keterangan:

1)  B2-2B1 = elemen-elemen baris ke-2 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-1.

2)  B3-2B1 = elemen-elemen baris ke-3 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-1.

3)  B3+B2 = elemen-elemen baris ke-3 ditambah elemen-elemen baris ke-2.

4)  1/5B3 = elemen-elemen baris ke-3 dikali degan ⅕.

5)  B2-2B3 = elemen-elemen baris ke-2 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-3.

6)  B1-B2 = elemen-elemen baris ke-1 dikurang elemen-elemen baris ke-2.

Sehingga, diperoleh invers matriks A, yaitu: