Persamaan Garis Singgung pada Kurva dan Garis Normal

Persamaan Garis

Persamaan garis yang melalui titik (x1,y1) dengan gradien m adalah :y−y1=m(x−x1)
Sebagai contoh, persamaan garis yang melalui titik (1,4) dengan m = 3 adalah

y − 4 = 3(x − 1)
y − 4 = 3x − 3
y = 3x + 1

Gradien Garis

Gradien  dari persamaan garis :

• y = ax + b          ⇒ m = a
• ax + by + c = 0  ⇒ m = −ab

Contoh :

1. y = −2x + 1  ⇒ m = −2
2. 6x − 2y + 3 = 0  ⇒ m = −6−2 = 3

Gradien garis yang melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2)  adalah :

m=y2−y1x2−x1

Gradien garis yang membentuk sudut α terhadap sumbu-x positif adalah :
m=tanα
Gradien Garis A dan B :

• Sejajar : mA=mB
• Tegak lurus : mA⋅mB=−1

A. Persamaan Garis Singgung Kurva

Misalkan garis g menyinggung kurva y = f(x) di titik (x1,y1). Persamaan garis singgung kurva di titik tersebut adalah y−y1=m(x−x1)

dengan m=f′(x1)

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Kurva:

Contoh 1

Jika garis singgung pada kurva y = √x  di titik P membentuk sudut 45° dengan sumbu-x positif, tentukan koordinat titik P dan persamaan garis singgung di titik P tersebut !

Jawab

m = tan 45° = 1

⇒ m = 1

f(x) = √x  ⇒  f '(x) = $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

m = f '(x)

1 = $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

2√x = 1

√x = $\frac{1}{2}$

x = $\frac{1}{4}$

y = √x
y = $\sqrt{\frac{1}{4}}$
y = $\frac{1}{2}$

Titik singgung : P$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$

PGS di titik P$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$ dengan $m=1$ adalah

y − $\frac{1}{2}$ = 1$\left(x-\frac{1}{4}\right)$
$y=x+\frac{1}{4}$   atau  4x − 4y + 1 = 0

Contoh 2 

Garis k menyinggung kurva $y=x^2-4x-3+2a$ di titik P yang berabsis 4. Jika garis l tegak lurus terhadap garis k di titik P dan melalui titik Q $(8,2)$, tentukan nilai a !

Jawab :

Absis (x) = 4
y = x2 − 4x − 3 + 2a
y = (4)2 − 4(4) − 3 + 2a
y = 2a − 3

Titik singgung P(4, 2a − 3)

Cari gradien garis singgung k :

f(x) =  x2 − 4x − 3 + 2a 

f '(x) = 2x − 4

mk = f '(4) = 2(4) − 4
⇒ mk = 4

Garis l tegak lurus garis k maka :

ml . mk = −1

ml . 4 = −1

ml = $-\frac{1}{4}$

Ingat :

Gradien garis yang melalui titik $\left(x_1,y_1\right)$ dan $\left(x_2,y_2\right)$  adalah :
$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Garis l melalui titik P(4, 2a − 3) dan Q (8, 2), maka :

⇔  ml = $\frac{2-(2a-3)}{8-4}$

⇔  $-\frac{1}{4}$ = $\frac{5-2a}{4}$

⇔  −1 = 5 − 2a

⇔  2a = 6

⇔  a = 3

B. Persamaan Garis Normal Kurva

Persamaan garis normal bergradien dan melalui A(x1,y1)

Contoh Soal Persamaan Garis Normal Kurva:

Contoh 1

Tentukan Persamaan garis normal pada kurva y = x4 - 7x2 + 20 di titik yang berabsis 2 adalah...

Jawab: 

Persamaan garis normal

gradien garis singgung , m = 4, gradien garis normal 

Garis normal bergardien  melalui A(2,8)

Jadi, persamaan garis Normalnya adalah

Daftar Pustaka: 

1. https://smatika.blogspot.com/2016/04/persamaan-garis-singgung-kurva_6.html

2. https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-persamaan-garis-singgung-menggunakan-turunan/

3. https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/sumberbelajar/tampil/Garis-Singgung-dan-Garis-Normal-2016/menu4.html